Question

6．如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E為AC上一點(diǎn)，且∠DEB=120°
（1）求證：△ADE≌△ABE；
（2）若∠DAB=60°，AD=2$\sqrt{3}$，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AD=AB，∠1=∠2，然后利用SAS定理證明△ADE≌△ABE即可；
（2）首先證明∠ADE=90°，在△DAE中，設(shè)DE=x，AE=2x，利用勾股定理可得關(guān)于x的方程（2$\sqrt{3}$）²+x²=（2x）²，再解即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠1=∠2，
在△ADE和△ABE中$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠1=∠2}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ABE（SAS）；

（2）∵△ADE≌△ABE，
∴∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠DAB=30°，
∠DEA=$\frac{1}{2}$∠DEB=60°，
∴∠ADE=90°，
在△DAE中，設(shè)DE=x，AE=2x，
由勾股定理得：AD²+DE²=AE²，
即（2$\sqrt{3}$）²+x²=（2x）²，
解得：x=2，
∴DE=2．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了菱形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形四邊形相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角．