Question

14．如圖，已知點(diǎn)C（4，0）是正方形AOCB的一個(gè)頂點(diǎn)，直線PC交AB于點(diǎn)E，若E是AB的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）求直線PC的解析式；
（3）若點(diǎn)P是直線PC在第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，圖中存在與△AOP全等的三角形？請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，再由點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線PC的解析式為y=kx+b，由點(diǎn)E、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線PC的解析式；
（3）分點(diǎn)P與點(diǎn)E重合以及AP=CP兩種情況考慮．①由（1）即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②由全等三角形的性質(zhì)得出相等的角，從而得出直線OP的解析式，聯(lián)立OP、PC的解析式成方程組，解方程組即可求出交點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵四邊形AOCB是正方形，C（4，0），
∴點(diǎn)B（4，4），C（4，0），
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，4）．
（2）設(shè)直線PC的解析式為y=kx+b，
將點(diǎn)E（2，4）、C（4，0）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{4=2k+b}\\{0=4k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直線PC的解析式為y=-2x+8．
（3）有兩種情況，如圖所示．
①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，
在△OAE和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=BE}\\{∠OAE=∠CBE=90°}\\{OA=CB}\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△CBE（SAS），
此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，4）；
②當(dāng)AP等于CP時(shí)，
在△AOP和△COP中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{AP=CP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△COP（SSS），
∴∠AOP=∠COP=45°，
∴直線OP的解析式為y=x．
聯(lián)立直線OP、PC的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-2x+8}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{3}}\\{y=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{8}{3}$，$\frac{8}{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)找出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）利用待定系數(shù)法求出直線PC的解析式；（3）找出點(diǎn)P的位置．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，找出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．