Question

7．如圖，在正方形ABCD中，點E，F，G，H均在其內部，且DE=EF=FG=GH=HB=1，∠E=∠F=∠G=∠H=60°，則AB=$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 連接DF、FH可得△DEF、△EFG和△FGH是等邊三角形，根據等邊三角形的每一個角都是60°可得∠DFE=∠EFG=∠GFH=60°，然后判斷出D、F、H三點共線，連接EG、BG，同理可得E、G、B三點共線，從而得到四邊形DHBE是平行四邊形，再連接BD、EH，根據平行四邊形的對角線互相平分可得BD=2OD，再求出O是FG的中點，根據等邊三角形的性質可得EO⊥FG，OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EF，再求出∠OED=90°，利用勾股定理列式求出OD，從而得到BD，然后根據正方形的對角線等于邊長的$\sqrt{2}$倍列式計算即可得解．

解答 解：如圖，連接DF、FH，
∵DE=EF=FG=GH，∠E=∠F=∠G，
∴△DEF、△EFG和△FGH是等邊三角形，
∴∠DFE=∠EFG=∠GFH=60°，
∴D、F、H三點共線，
連接EG、BG，
同理可得E、G、B三點共線，
∵∠E=∠F=∠G=∠H=60°，
∴DE∥FG∥BH，
又∵DE=FG=HB，
∴四邊形DHBE是平行四邊形，
連接BD、EH，則BD=2OD，點O是FG的中點，
∴EO⊥FG，OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∵DE∥FG，
∴∠OED=90°，
在Rt△DOE中，由勾股定理得，OD=$\sqrt{O{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$
∴BD=$\sqrt{7}$，
由正方形的性質，邊長AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=$\sqrt{7}$，
故答案為：$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了正方形的性質的運用，平行四邊形的判定與性質，等邊三角形的性質，勾股定理的應用，難度較大，靈活性較強，作輔助線構造出平行四邊形與直角三角形是解題的關鍵．