Question

9．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，AE=EC，∠A=∠DCA，CF∥AB交DE的延長線于點F．
（1）求證：DE=EF；
（2）連結CD，過點D作DC的垂線交CF的延長線于點G，求證：∠B=∠A+∠DGC．

Answer 1

分析 （1）首先證明四邊形DBCF為平行四邊形，可得DF=BC，再證明DE=$\frac{1}{2}$BC，進而得到EF=$\frac{1}{2}$CB，即可證出DE=EF；
（2）首先畫出圖形，首先根據平行線的性質可得∠ADG=∠G，再證明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．

解答 證明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，
∴四邊形DBCF為平行四邊形，
∴DF=BC，
∵D為邊AB的中點，DE∥BC，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴EF=DF-DE=BC-$\frac{1}{2}$CB=$\frac{1}{2}$CB，
∴DE=EF；

（2）∵DB∥CF，
∴∠ADG=∠G，
∵∠ACB=90°，D為邊AB的中點，
∴CD=DB=AD，
∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，
∵DG⊥DC，
∴∠DCA+∠DEC=90°，
∵∠DCB+∠DCA=90°，
∴∠DEC=∠DCB=∠B，
∵∠A+∠ADG=∠DEC，
∴∠B=∠A+∠DGC．

點評 此題主要考查了平行四邊形的判定與性質，以及直角三角形的性質，關鍵是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．