Question

17．如圖，⊙O的弦AD∥BC，過點(diǎn)D的切線交BC的延長線于點(diǎn)E，AC∥DE交BD于點(diǎn)H，DO及延長線分別交AC、BC于點(diǎn)G、F．
（1）求證：DF垂直平分AC；
（2）若弦AD=10，AC=16，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線的性質(zhì)得DF⊥DE，再利用平行線的性質(zhì)可判斷DF⊥AC，然后根據(jù)垂徑定理即可得到結(jié)論；
（2）連結(jié)AO，如圖，先利用勾股定理計(jì)算出GD=6，設(shè)圓的半徑為r，則OG=r-6，再在Rt△AOG中利用勾股定理得到r²=（r-6）²+8²，然后解方程求出r即可．

解答 （1）證明：∵DE是⊙O的切線，且DF過圓心O，
∴DF⊥DE，
又∵AC∥DE，
∴DF⊥AC，
∴DF垂直平分AC；
（2）解：連結(jié)AO，如圖，
∵AG=GC，AC=16，
∴AG=8，
在Rt△AGD中，GD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{G}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
設(shè)圓的半徑為r，則OG=r-6，
在Rt△AOG中，∵AO²=OG²+AG²，
∴r²=（r-6）²+8²，解得 r=$\frac{25}{3}$，
即⊙O的半徑為$\frac{25}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了垂徑定理和勾股定理．