Question

5．已知：方程4x²+4$\sqrt{a}$x+2b-c=0有兩個相等的實數根，a、b、c為△ABC的三邊且滿足3a-2c=b．
（1）求證：△ABC是等邊三角形．
（2）若a、b為方程x²-2kx-（2k-3）=0二根，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據方程有兩個相等的實數根得出△=（4$\sqrt{a}$）²-4×4×（2b-c）=0，即a=2b-c，代入3a-2c=b可得b=c，代入回a=2b-c得a=b；
（2）根據題意知方程x²-2kx-（2k-3）=0有兩個相等的實數根，據此得△=（-2k）²-4×1×[-（2k-3）]=0，即k²+2k-3=0，解之可得k=-3或k=1，代回方程求得x的值，判斷是否符合題意即可．

解答 解：（1）∵方程4x²+4$\sqrt{a}$x+2b-c=0有兩個相等的實數根，
∴△=（4$\sqrt{a}$）²-4×4×（2b-c）=0，即a=2b-c，
∵3a-2c=b．
∴3（2b-c）-2c=b，即b=c，
將b=c代入a=2b-c得：a=b，
∴a=b=c，
∴△ABC是等邊三角形；

（2）∵a、b為方程x²-2kx-（2k-3）=0二根，且a=b，
∴△=（-2k）²-4×1×[-（2k-3）]=0，即k²+2k-3=0，
解得：k=1或k=-3，
當k=-3時，方程為x²+6x+9=0，解得：x₁=x₂=-3＜0（舍）；
當k=1時，方程為x²-2x+1=0，解得：x₁=x₂=1，（符合題意）；
故k=1．

點評 本題主要考查根的判別式和解一元二次方程的能力、等邊三角形的判定，根據方程的根的情況得出判別式的值的情況，從而得到關于a、b、c及k的等式是解題的關鍵．