Question

如圖，⊙O和⊙O′的公共弦為AB，若AB分別為⊙O和⊙O′的內接正三角形和內接正六邊形的一邊，AB=2，則兩圓公共部分的面積為

 

．

Answer 1

分析：連OO′交AB于D，交⊙O于C，根據相交兩圓的性質得到OO′垂直平分AB，根據AB為⊙O′內接正六邊形的一邊，得到△O′AB為等邊三角形，即有O′A=AB=2，∠AO′B=60°，根據扇形和三角形的面積公式利用AB與⊙O′所形成的弓形的面積=S_扇形O′AB-S_△O′AB進行計算；再由AB分別為⊙O的內接正三角形，利用等邊三角形的性質和含30度的直角三角形三邊的關系得到∴AD=1，∠AOB=2∠ACB=120°，∠AOD=60°，OD=

3

3

AD=

3

3

，OA=2OD=

2 3

3

，然后利用AB與⊙O所形成的弓形的面積=S_扇形OAB-S_△OAB，最后把兩個結果相加即可得到兩圓公共部分的面積．

解答：解：如圖，連OO′交AB于D，交⊙O于C，則OO′垂直平分AB．
∵AB為⊙O′內接正六邊形的一邊，
∴△O′AB為等邊三角形，
∴O′A=AB=2，∠AO′B=60°，
∴AB與⊙O′所形成的弓形的面積=S_扇形O′AB-S_△O′AB=

60•π•22

360

-

3

4

×2²=

2

3

π-

3

；
又∵AB分別為⊙O的內接正三角形，
∴AD=1，∠AOB=2∠ACB=120°，∠AOD=60°，
∴OD=

3

3

AD=

3

3

，
∴OA=2OD=

2 3

3

，
∴AB與⊙O所形成的弓形的面積=S_扇形OAB-S_△OAB=

120•π( 2 3 3 )2

360

-

1

2

×2×

3

3

=

4

9

π-

3

3

，
∴兩圓公共部分的面積=

2

3

π-

3

+

4

9

π-

3

3

=

10

9

π-

4 3

3

．
故答案為

10

9

π-

4 3

3

．

點評：本題考查了扇形的面積公式：S=

n•π•R2

360

；也考查了相交兩圓的性質、等邊三角形的性質以及含30度的直角三角形三邊的關系．