Question

（2013•錫山區一模）城市內環高架能改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，高架上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數．當高架上的車流密度達到188輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過28輛/千米時，車流速度為80千米/小時．研究表明：當28≤x≤188時，車流速度v是車流密度x的一次函數．
（1）當28≤x≤188時，求車流速度v關于車流密度x的函數解析式；
（2）若車流速度v不低于50千米/小時，求車流密度x為多大時，車流量y（單位時間內通過高架橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時）可以達到最大，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）設v=kx+b，然后把x=188時，v=0，x=28時，v=80代入，利用待定系數法求一次函數解析式解答即可；
（2）分0≤x≤28時，根據一次函數的增減性求出y達到的最大值，28≤x≤188時，根據車流量=車流密度×車流速度列式整理得到y與x的函數關系式，再根據車流速度求出x的取值范圍，然后利用二次函數的增減性與最值問題解答．

解答：解：（1）當28≤x≤188時，設v=kx+b，
∵x=188時，v=0，x=28時，v=80
∴

188k+b=0 28k+b=80

，
解得

k=- 1 2 b=94

．
∴當28≤x≤188時，v=-

1

2

x+94；

（2）當0≤x≤28時，車流量y=80x，
∵y隨x的增大而增大，
∴當x=28時，y_最大=80×28=2240，
當28≤x≤188時，車流量y=x（-

1

2

x+94）=-

1

2

x²+94x=-

1

2

（x-94）²+4418，
由-

1

2

x+94≥50，解得x≤88，
∴28≤x≤88，
∵當28≤x≤88時，y隨x的增大而增大，
∴當x=88時，y_最大=-

1

2

（88-94）²+4418=-18+4418=4400，
綜上，∵4400＞2240，
∴當x=88時，車流量最大，最大值為4400輛/小時．

點評：本題考查了二次函數的應用，待定系數法求一次函數解析式，主要涉及利用二次函數的增減性求最大值的問題，根據車流量=車流密度×車流速度求出y、x的函數關系式是解題的關鍵．