Question

（2013•錫山區一模）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點A，B坐標分別為（8，4），（0，4），線段CD在于x軸上，CD=3，點C從原點出發沿x軸正方向以每秒1個單位長度向右平移，點D隨著點C同時同速同方向運動，過點D作x軸的垂線交線段AB于點E，交OA于點G，連接CE交OA于點F．設運動時間為t，當E點到達A點時，停止所有運動．

（1）求線段CE的長；
（2）記S為Rt△CDE與△ABO的重疊部分面積，試寫出S關于t函數關系式及t的取值范圍；
（3）如圖2，連接DF，
①當t取何值時，以C，F，D為頂點的三角形為等腰三角形？
②直接寫出△CDF的外接圓與OA相切時t的值．

Answer 1

分析：（1）直接根據勾股定理求出CE的長即可；
（2）作FH⊥CD于H．，由AB∥OD，DE⊥OD，OB⊥OD可知四邊形ODEB是矩形，故可用t表示出AE及BE的長，由相似三角形的判定定理可得出△OCF∽△AEF，△ODG∽△AEG，由相似三角形的性質可用t表示出CF及EG的長，FH∥ED可得出•

HD

CD

=

EF

CE

，故可求出HD的長，由三角形的面積公式可求出S與t的關系式；
（3）①由（2）知CF=t，當CF=CD時，則t=3；當CF=DF時，由FH⊥CD，FH∥DE，可得出CF：CE=FH：DE，由此可得出t的值；當DF=CD時，作DK⊥CF于K，則CK=

1

2

CF=

1

2

t，CK=CDcos∠DCE，由此可得出t的值；
②先根據勾股定理求出OA的長，由（2）知HD=

3

5

（5-t），由相似三角形的判定定理得出Rt△AOB∽Rt△OFH，故

OH

AB

=

OF

OA

，由此可用t表示出OF的長，因為當△CDF的外接圓與OA相切時，則OF為切線，OD為割線，由切割線定理可知OF²=OC•OD，故可得出結論．

解答：解：（1）∵在Rt△CDE中，CD=3，DE=4，
∴CE=

CD2+DE2

=

32+42

=5；

（2）如圖1，作FH⊥CD于H．
∵AB∥OD，DE⊥OD，OB⊥OD，
∴四邊形ODEB是矩形，
∴BE=OD，
∵OC=t，
∴BE=OD=OC+CD=t+3，
∴AE=AB-BE=8-（t+3）=5-t，
∵AB∥OD，
∴△OCF∽△AEF，△ODG∽△AEG，
∴

CF

EF

=

OC

AE

=

t

5-t

，

DG

EG

=

OD

AE

=

t+3

5-t

，
又∵CF+EF=5，DG+EG=4，
∴

EF+CF

CF

=

5-t+t

t

，

EG+DG

EG

=

t+3+5-t

5-t

，
∴CF=t，EG=

5-t

2

，
∴EF=CE-CF=5-t，
∵FH∥ED，
∴

HD

CD

=

EF

CE

，即HD=

EF

CE

•CD=

3

5

（5-t），
∴S=

1

2

EG•HD=

1

2

×

5-t

2

×

3

5

（5-t）=

3

20

（5-t）²，
t的取值范圍為：0≤t≤5；

（3）①由（2）知CF=t，
（i）當CF=CD時，則t=3；
（ii）如圖2，當CF=DF時，
∵FH⊥CD，
∴CH=

1

2

CD，
又∵FH∥DE，
∴CF：CE=FH：DE，
∴CF=

1

2

CE=

5

2

即t=

5

2

；
（iii）如圖3，當DF=CD時，如圖作DK⊥CF于K，
則CK=

1

2

CF=

1

2

t，
∵CK=CDcos∠DCE，
∴

1

2

t=3×

3

5

，
解得：t=

18

5

；
綜上，當t=3或

5

2

或

18

5

時，△CDF為等腰三角形；
②∵點A，B坐標分別為（8，4），（0，4），
∴AB=8，OB=4，
∴OA=

AB2+OB2

=

82+42

=4

5

，
∵由（2）知HD=

3

5

（5-t），
∴OH=t+3-

3

5

（5-t）=

8t

5

，
∵∠A+∠AOB=∠AOD+∠AOB=90°，
∴∠A=∠AOD，
∴Rt△AOB∽Rt△OFH，
∴

OH

AB

=

OF

OA

，

8t 5

8

=

OF

4 5

，解得OF=

4 5 t

5

，
∵當△CDF的外接圓與OA相切時，則OF為切線，OD為割線，
∴OF²=OC•OD，即（

4 5 t

5

）²=t（t+3），得t=

15

11

．

點評：本題考查的是相似三角形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、等腰三角形的性質及切割線定理，涉及面較廣，難度較大．