Question

如圖：⊙I是直角△ABC的內切圓，切點為D、E、F，若AF，BE的長是方程x²-13x+30=0的兩根，則△ABC的面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：求△ABC的面積，關鍵是求出兩條直角邊的長；由已知的方程可求出AF、BE的長，結合切線長定理和勾股定理，可求得CE、CF的長，進而可求出AC、BC的長；根據直角三角形的面積公式即可求出其面積．
解答：解：如圖；
解方程x²-13x+30=0，得：
x₁=10，x₂=3，
∴AD=AF=10，BD=BE=3；
設CE=CF=x，則AC=10+x，BC=3+x；
由勾股定理，得：
AB²=AC²+BC²，即13²=（10+x）²+（3+x）²，
解得：x=2（負值舍去），
∴AC=12，BC=5；
因此S_△ABC=AC•BC=×5×12=30．
故答案為：30．
點評：本題主要考查的是三角形內切圓的性質、切線長定理、勾股定理、直角三角形的面積公式等知識．