Question

如圖，△A₁A₂B是直角三角形，∠A₁A₂B=90°，且A₁A₂=A₂B=4，A₂A₃⊥A₁B，垂足為A₃，A₃A₄⊥A₂B，垂足為A₄，A₄A₅⊥A₃B，垂足為A₅，A₅A₆⊥A₄B，垂足為A₆，…以此類推，則線段A_2nA_2n+1（n為正整數）的長為

2

2n-2

．

Answer 1

分析：根據等腰直角三角形的直角邊與斜邊的關系求出A₂A₃，再根據等腰直角三角形斜邊上的高線平分斜邊可得A₄A₅=

1

2

A₂A₃，以此類推，后一條線段是前一條線段的

1

2

，然后寫出線段A_2nA_2n+1即可得解．

解答：解：∵∠A₁A₂B=90°，A₁A₂=A₂B=4，A₂A₃⊥A₁B，
∴A₂A₃=

2

2

A₁A₂=

2

2

×4=2

2

，
∵A₃A₄⊥A₂B，A₄A₅⊥A₃B，
∴A₄為A₂B的中點，A₅為A₃B的中點，
∴A₄A₅=

1

2

A₂A₃=

1

2

×2

2

=

2

，即A_2×2A_2×2+1=

2

，
…，
以此類推，A₆A₇=

1

2

A₄A₅=

2

2

，即A_2×3A_2×3+1=

2

2

，
…，
A_2nA_2n+1=

2

2n-2

．
故答案為：

2

2n-2

．

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質，主要利用了等腰直角三角形直角邊是斜邊的

2

2

，等腰直角三角形斜邊上的高線也是斜邊的中線，三角形的三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半．