Question

如圖，△A₁A₂B是直角三角形，∠A₁A₂B=90°，且A₁A₂=A₂B=4，A₂A₃⊥A₁B，垂足為A₃，A₃A₄⊥A₂B，垂足為A₄，A₄A₅⊥A₃B，垂足為A₅，A₅A₆⊥A₄B，垂足為A₆，一直按此做下去，…則△A_nA_n+1B的面積為

1. A.
   8×（）ⁿ
2. B.
   4×（）ⁿ
3. C.
   8×（）^n-1
4. D.
   8×（）ⁿ⁺¹

Answer 1

C
分析：根據等腰直角三角形的直角邊等于斜邊的倍分別表示出A₂A₃、A₃A₄、A₄A₅、A₅A₆…A_nA_n+1，再根據等腰直角三角形的面積等于直角邊平方的進行計算即可得解．
解答：由題意可知，截出的直角三角形都是等腰直角三角形，
∴A₂A₃=A₁A₂，
A₃A₄=A₂A₃=（）²A₁A₂，
A₄A₅=A₃A₄=（）³A₁A₂，
A₅A₆=A₄A₅=（）⁴A₁A₂，
…，
A_nA_n+1=A_n-1A_n=（）^n-1A₁A₂，=4×（）^n-1，
所以，△A_nA_n+1B的面積=×[4×（）^n-1]²=×16×=8×（）^n-1．
故選：C．
點評：本題考查了等腰直角三角形的性質，三角形的面積，熟記等腰直角三角形的直角邊等于斜邊的倍并表示出A_nA_n+1的長度是解題的關鍵．