Question

19．如圖，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，DE是BC的垂直平分線，交BC于D，AB于E．
（1）求證：△ABC為直角三角形；
（2）求AE的長．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a²+b²=c²，那么這個三角形就是直角三角形可得△ABC是直角三角形；
（2）根據線段垂直平分線的性質可得BE=CE，設AE=x，則EC=4-x，根據勾股定理可得x²+3²=（4-x）²，再解即可．

解答 （1）證明：∵△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，
又∵4²+3²=5²，
即AB²+AC²=BC²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）證明：連接CE． 
∵DE是BC的垂直平分線，
∴EC=EB，
設AE=x，則EC=4-x．
∴x²+3²=（4-x）²．
解之得x=$\frac{7}{8}$，即AE的長是$\frac{7}{8}$．

點評 此題主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，關鍵是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a²+b²=c²，那么這個三角形就是直角三角形．勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．