Question

5．如圖，二次函數y=ax²+bx+2的圖象與x軸交于點A（-1，0）、B（4，0），與y軸正半軸交于點C．
（1）求二次函數的解析式；
（2）證明：∠ACB=90°；
（3）P為拋物線上一點，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，連接OP，若△OPM∽△ABC，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）把A、B兩點坐標代入拋物線解析式可求得a、b的值，則可求得拋物線解析式；
（2）由拋物線解析式可求得C點坐標，再利用勾股定理可求得AC、BC和AB的長，利用勾股定理的逆定理可證明結論；
（3）可設出P點坐標，則可表示出PM和OM的長，利用相似三角形的性質可得到關于P點坐標的方程，可求得P點坐標．

解答 解：
（1）∵二次函數y=ax²+bx+2的圖象與x軸交于點A（-1，0）、B（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴二次函數解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（2）在y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2中，令x=0可得y=2，
∴C（0，2），
∵A（-1，0），B（4，0），
∴AB=5，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AC²+BC²=（$\sqrt{5}$）²+（2$\sqrt{5}$）²=25=AB²，
∴△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，
∴∠ACB=90°；
（3）∵P為拋物線上一點，
∴可設P點坐標為（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2），
∴OP=|t|，
當點P在x軸上方時，則有PM=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2，
∵△OPM∽△ABC，
∴$\frac{PM}{BC}$=$\frac{OM}{AC}$，即$\frac{-\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{3}{2}t+2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{|t|}{\sqrt{5}}$，解得t=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$或t=$\frac{7-\sqrt{65}}{2}$，
當t=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$時，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2=-1+$\sqrt{17}$，此時P（$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，-1+$\sqrt{17}$），
當t=$\frac{7-\sqrt{65}}{2}$時，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2=$\sqrt{65}$-7，此時P（$\frac{7-\sqrt{65}}{2}$，$\sqrt{65}$-7），
當點P在x軸下方時，同理可求得t=$\frac{7+\sqrt{65}}{2}$或t=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，
當t=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$時，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2=-1-$\sqrt{17}$，此時P（$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，-1-$\sqrt{17}$），
當t=$\frac{7+\sqrt{65}}{2}$時，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2=-$\sqrt{65}$-7，此時P（$\frac{7+\sqrt{65}}{2}$，-$\sqrt{65}$-7），
綜上可知點P的坐標為（$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，-1+$\sqrt{17}$）或（$\frac{7-\sqrt{65}}{2}$，$\sqrt{65}$-7）或（$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，-1-$\sqrt{17}$）或（$\frac{7+\sqrt{65}}{2}$，-$\sqrt{65}$-7）．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、勾股定理及逆定理、相似三角形的性質、方程思想及分類討論思想．在（1）中注意待定系數法的應用步驟，在（2）中求得AB、AC、BC的長度是解題的關鍵，在（3）中用相似三角形的性質得到關于t的方程是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，特別是第（3）問的計算量很大．