Question

【題目】在平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+2nx+c的圖象過坐標原點.

(1)若a=-1.

①當函數自變量的取值范圍是-1≤x≤2，且n≥2時，該函數的最大值是8，求n的值;

②當函數自變量的取值范圍是時，設函數圖象在變化過程中最高點的縱坐標為m，求m與n的函數關系式，并寫出n的取值范圍;

（2）若二次函數的圖象還過點A（-2，0），橫、縱坐標都是整數的點叫做整點.已知點，二次函數圖象與直線AB圍城的區域（不含邊界）為T，若區域T內恰有兩個整點，直接寫出a的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ①n=3;② （2）

【解析】

（1）①根據已知條件可確定拋物線圖象的基本特征，從而列出關于的方程，即可得解；②根據二次函數圖象的性質分三種情況進行分類討論，從而得到與的分段函數關系；

（2）由得正負進行分類討論，結合已知條件求得的取值范圍．

解：(1) ∵拋物線過坐標原點

∴c=0，a=-1

∴y=-x2+2nx

∴拋物線的對稱軸為直線x=n，且n≥2，拋物線開口向下

∴當-1≤x≤2時，y隨x的增大而增大

∴當x=2時，函數的最大值為8

∴-4+4n=8

∴n=3．

②若

則

∴拋物線開口向下，在對稱軸右側，隨的增大而減小

∴當時，函數值最大，；

若

則

∴此時，拋物線的頂點為最高點

∴；

若

則

∴拋物線開口向下，在對稱軸左側，隨的增大而增大

∴當時，函數值最大，

∴綜上所述：

（2）結論：或

證明：∵過

∴

∴

①

∵若，直線的解析式為，拋物線的對稱軸為直線

∴頂點為，對稱軸與直線交點坐標為

∴兩個整點為，

∵不含邊界

∴

∴

②

∵若，區域內已經確定有兩個整點，

∴在第三項象限和第一象限的區域內都要確保沒有整點

∴

∴

∵當時，直線上的點的縱坐標為，拋物線上的點的縱坐標為

∴

∴

∴

故答案為：（1）①；②（2）或