Question

Rt△ABC與Rt△FED是兩塊全等的含30°、60°角的三角板，按如圖（一）所示拼在一起，CB與DE重合．

（1）求證：四邊形ABFC為平行四邊形；

（2）取BC中點O，將△ABC繞點O順時鐘方向旋轉到如圖（二）中△A′B′C′位置，直線B'C'與AB、CF分別相交于P、Q兩點，猜想OQ、OP長度的大小關系，并證明你的猜想；

（3）在（2）的條件下，指出當旋轉角至少為多少度時，四邊形PCQB為菱形？（不要求證明）

　

Answer 1

【考點】菱形的判定；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定與性質．

【專題】幾何綜合題；壓軸題．

【分析】（1）已知△ABC≌△FCB，根據全等三角形的性質可知AB=CF，AC=BF，根據兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可得到結論．

（2）根據已知利用AAS判定△COQ≌△BOP，根據全等三角形的性質即可得到OP=OQ．

（3）根據對角線互相垂直的平行四邊形的菱形進行分析即可．

【解答】（1）證明：∵△ABC≌△FCB，

∴AB=CF，AC=BF．

∴四邊形ABFC為平行四邊形．

 

（2）解：OP=OQ，

理由如下：∵OC=OB，∠COQ=∠BOP，∠OCQ=∠PBO，

∴△COQ≌△BOP．

∴OQ=OP．

 

（3）解：90°．

理由：∵OP=OQ，OC=OB，

∴四邊形PCQB為平行四邊形，

∵BC⊥PQ，

∴四邊形PCQB為菱形．

【點評】此題考查學生對平行四邊形的判定及性質，全等三角形的判定，菱形的判定等知識的綜合運用．