Question

9．【問題學習】小蕓在小組學習時問小娟這樣一個問題：已知α為銳角，且sinα=$\frac{1}{3}$，求sin2α的值．
小娟是這樣給小蕓講解的：
如圖1，在⊙O中，AB是直徑，點C在⊙O上，所以∠ACB=90°．設∠BAC=α，則sinα=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{3}$．易得∠BOC=2α．設BC=x，則AB=3x，則AC=$2\sqrt{2}$x．作CD⊥AB于D，求出CD=$\frac{2\sqrt{2}x}{3}$（用含x的式子表示），可求得sin2α=$\frac{CD}{OC}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．
【問題解決】已知，如圖2，點M，N，P為⊙O上的三點，且∠P=β，sinβ=$\frac{3}{5}$，求sin2β的值．

Answer 1

分析 【問題學習】
利用面積法可求出CD=$\frac{2\sqrt{2}x}{3}$，然后在Rt△OCD中，利用正弦的定義可求出sin2α的值；
【問題解決】
如圖2，作直徑NQ，連接MQ，MO，過點M作MR⊥NQ于點R，利用圓周角定理得到∠NMQ=90°，∠Q=∠P=β，∠MON=2∠Q=2β，再在Rt△QMN中，根據正弦定義得到sinQ=sinβ=$\frac{MN}{QN}$=$\frac{3}{5}$，于是可設MN=3k，則NQ=5k，易得OM=$\frac{1}{2}$NQ=$\frac{5}{2}$k，則根據勾股定理可計算出MQ=4k，接著利用面積法可計算出MR=$\frac{12}{5}$k，然后在Rt△MRO中，利用正弦的定義求出sin∠MON的值即可．

解答 【問題學習】
解：∵$\frac{1}{2}$CD•AB=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{2}x•x}{3x}$=$\frac{2\sqrt{2}x}{3}$，
在Rt△OCD中，sin2α=$\frac{CD}{OC}$=$\frac{\frac{2\sqrt{2}x}{3}}{\frac{3x}{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$；
故答案為$\frac{2\sqrt{2}x}{3}$，$\frac{4\sqrt{2}}{9}$；
【問題解決】
解：如圖2，作直徑NQ，連接MQ，MO，過點M作MR⊥NQ于點R，
∵MQ為直徑，
∴∠NMQ=90°，
∵∠Q=∠P=β，
∴∠MON=2∠Q=2β，
在Rt△QMN中，
∵sinQ=sinβ=$\frac{MN}{QN}$=$\frac{3}{5}$，
∴設MN=3k，則NQ=5k，易得OM=$\frac{1}{2}$NQ=$\frac{5}{2}$k，
∴MQ=$\sqrt{Q{N}^{2}-M{N}^{2}}$=4k，
∵$\frac{1}{2}$MR•NQ=$\frac{1}{2}$QM•MN，
∴MR=$\frac{4k•3k}{5k}$=$\frac{12}{5}$k，
在Rt△MRO中，sin2β=sin∠MON=$\frac{MR}{OM}$=$\frac{\frac{12}{5}k}{\frac{5}{2}k}$=$\frac{24}{25}$．

點評 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理和銳角三角函數的定義；會運用勾股定理定理和面積法計算線段的長；會利用代數法轉化線段的比．