Question

如圖, 在平面直角坐標系中,點A，B分別是軸正半軸, 軸正半軸上兩動點, ，，以AO，BO為鄰邊構造矩形AOBC，拋物線交軸于點D，P為頂點，PM⊥軸于點M．

（1）求，的長(結果均用含的代數式表示)．

（2）當時,求該拋物線的表達式．

（3）在點在整個運動過程中．

①若存在是等腰三角形,請求出所有滿足條件的的值．

 ②當點A關于直線DP的對稱點恰好落在拋物線的圖象上時，請直接寫出的值．

Answer 1

解：（1）把x=0，代入，得．∴．

∵，∴． （3分）

        （2）∵，∴,．

              又∵，，∴，解得．

              ∴該拋物線的表達式為．                      （3分）

 （3）①

Ⅰ）當點P在矩形AOBC外部時

        如圖1，過P作PK⊥OA于點K，當AD=AP時,

        ∵AD=AO-DO=2k-k=k，

∴AD=AP =k，KA=KO-AO=PM-AO=

        KP=OM=2，在Rt△KAP中，

         ∴，解得．

Ⅱ）當點P在矩形AOBC內部時

當PD=AP時,如圖2，過P作PH⊥OA于H，

    AD=k，HD=，

又∵HO=PM=，

∴，解得．

當DP=DA時,如圖3，過D作PQ⊥PM于Q，

PQ=PM-QM=PM-OD=

DQ=OM=2，DP=DA=k，

在Rt△DQP中，．

           ∴．          （6分）

②．