Question

如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點P在AB上從A向B運動，連接DP交AC于點Q．

（1）試證明：無論點P運動到AB上何處時，都有△ADQ≌△ABQ；

（2）當點P在AB上運動到什么位置時，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；

（3）若點P從點A運動到點B，再繼續在BC上運動到點C，在整個運動過程中，當點P運動到什么位置時，△ADQ恰為等腰三角形．

Answer 1

【考點】正方形的性質；三角形的面積；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；相似三角形的判定與性質．

【分析】（1）可由SAS求得△ADQ≌△ABQ；

（2）過點Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，則QE=QF，若△ADQ的面積是正方形ABCD面積的，則有S_△ADQ=AD•QE=S_{正方形ABCD}，求得OE的值，再利用△DEQ∽△DAP有解得AP值；

（3）點P運動時，△ADQ恰為等腰三角形的情況有三種：有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD．由正方形的性質知，①當點P運動到與點B重合時，QD=QA，此時△ADQ是等腰三角形，②當點P與點C重合時，點Q與點C也重合，此時DA=DQ，△ADQ是等腰三角形，③當AD=AQ=4時，有CP=CQ，CP=AC﹣AD而由正方形的對角線的性質得到CP的值．

【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，

無論點P運動到AB上何處時，都有

AD=AB，∠DAQ=∠BAQ，AQ=AQ，

∴△ADQ≌△ABQ；

（2）解法一：△ADQ的面積恰好是正方形ABCD面積的時，

過點Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，則QE=QF，

∵在邊長為4的正方形ABCD中，

∴S_{正方形ABCD}=16，

∴AD×QE=S_{正方形ABCD}=×16=，

∴QE=，

∵EQ∥AP，

∴△DEQ∽△DAP，

∴，即=，

解得AP=2，

∴AP=2時，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；

解法二：以A為原點建立如圖所示的直角坐標系，過點Q作QE⊥y軸于點E，QF⊥x軸于點F．

AD×QE=S_{正方形ABCD}=×16=，

∴QE=，

∵點Q在正方形對角線AC上，

∴Q點的坐標為（，），

∴過點D（0，4），Q（，）兩點的函數關系式為：y=﹣2x+4，

當y=0時，x=2，

∴P點的坐標為（2，0），

∴AP=2時，即當點P運動到AB中點位置時，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；

（3）解：若△ADQ是等腰三角形，則有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD，

①當AD=DQ時，則∠DQA=∠DAQ=45°

∴∠ADQ=90°，P為C點，

②當AQ=DQ時，則∠DAQ=∠ADQ=45°，

∴∠AQD=90°，P為B，

③AD=AQ（P在BC上），

∴CQ=AC﹣AQ=BC﹣BC=（﹣1）BC

∵AD∥BC

∴=，即可得==1，

∴CP=CQ=（﹣1）BC=4（﹣1）

綜上，P在B點，C點，或在CP=4（﹣1）處，△ADQ是等腰三角形．