Question

20．已知，如圖?ABCD中，AB=5，BP平分∠ABC，CE⊥AB，垂足為E點，交BP于F點，若tan∠PFC=$\frac{4}{3}$，則BP=8．

Answer 1

分析 由平行四邊形的性質和角平分線定義得出∠ABP=∠APB，證出AP=AB=5，過P作PG⊥AB于G，則PG∥CE，由平行線的性質得出∠BPG=∠BFE=∠PFC，得出tan∠PFC=tan∠BPG=$\frac{4}{3}$，設AG=x，則BG=5+x，GP=$\frac{3}{4}$（5+x），在Rt△APG中，由勾股定理得出方程，解方程得出GP=$\frac{24}{5}$，BG=$\frac{32}{5}$，在Rt△BPG中，由勾股定理即可得出結果BP的長．

解答 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠APB=∠CBP，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∴∠ABP=∠APB，
∴AP=AB=5，
過P作PG⊥AB于G，如圖所示：
則PG∥CE，
∴∠BPG=∠BFE=∠PFC，
∴tan∠PFC=tan∠BPG=$\frac{4}{3}$，
設AG=x，則BG=5+x，GP=$\frac{3}{4}$（5+x），
在Rt△APG中，AG²+GP²=AP²，
即x²+[$\frac{3}{4}$（5+x）]²=5²，
解得：x=$\frac{7}{5}$，
∴GP=$\frac{24}{5}$，BG=$\frac{32}{5}$，
在Rt△BPG中，BP=$\sqrt{B{G}^{2}+G{P}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{32}{5}）^{2}+（\frac{24}{5}）^{2}}$=8；
故答案為：8．

點評 本題考查了平行四邊形的性質、解直角三角形、勾股定理等知識；熟練掌握平行四邊形的性質，由勾股定理得出方程是解決問題的關鍵．