Question

11．長方體的長為15，寬為10，高為20，點B在棱上與點C的距離為5，如圖，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，則需要爬行的最短距離是（　　）

• A． $10\sqrt{5}+5$
• B． $5\sqrt{29}$
• C． 25
• D． $5\sqrt{37}$

Answer 1

分析 要求長方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長方體側面展開，然后利用兩點之間線段最短解答．

解答 解：只要把長方體的右側表面剪開與前面這個側面所在的平面形成一個長方形，如第1個圖：
∵長方體的寬為10，高為20，點B離點C的距離是5，
∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，
在直角三角形ABD中，根據勾股定理得：
∴AB=$\sqrt{B{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}+2{0}^{2}}$=25；
只要把長方體的右側表面剪開與上面這個側面所在的平面形成一個長方形，如第2個圖：
∵長方體的寬為10，高為20，點B離點C的距離是5，
∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，

在直角三角形ABD中，根據勾股定理得：
∴AB=$\sqrt{B{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}+2{5}^{2}}$=5$\sqrt{29}$；
只要把長方體的上表面剪開與后面這個側面所在的平面形成一個長方形，如第3個圖：
∵長方體的寬為10，高為20，點B離點C的距離是5，
∴AC=CD+AD=20+10=30，
在直角三角形ABC中，根據勾股定理得：
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{3{0}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{37}$；
∵25＜5$\sqrt{29}$＜5$\sqrt{37}$，
∴螞蟻爬行的最短距離是25．
故選C．

點評 本題主要考查兩點之間線段最短，關鍵是將長方體側面展開，然后利用兩點之間線段最短解答．