Question

如圖，在正方形ABCD中，點M是BC邊上的任一點，連接AM并將線段AM繞M順時針旋轉90°得到線段MN，在CD邊上取點P使CP=BM，連接NP，BP．

（1）求證：四邊形BMNP是平行四邊形；

（2）線段MN與CD交于點Q，連接AQ，若△MCQ∽△AMQ，則BM與MC存在怎樣的數量關系？請說明理由．

Answer 1

1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠B，

在△ABM和△BCP中，

，

∴△ABM≌△BCP（SAS），

∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，

∵∠BAM+∠AMB=90°，

∴∠CBP+∠AMB=90°，

∴AM⊥BP，

∵AM并將線段AM繞M順時針旋轉90°得到線段MN，

∴AM⊥MN，且AM=MN，

∴MN∥BP，

∴四邊形BMNP是平行四邊形；

（2）解：BM=MC．

理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，

∴∠BAM=∠CMQ，

又∵∠B=∠C=90°，

∴△ABM∽△MCQ，

∴=，

∵△MCQ∽△AMQ，

∴△AMQ∽△ABM，

∴=，

∴=，

∴BM=MC．