Question

3．如圖，一次函數y=kx+b與反比例函數y=$\frac{a}{x}$在第一象限交于點A（4，3），與y軸的負半軸交于點B，且OA=OB．
（1）求函數y=kx+b和y=$\frac{a}{x}$的表達式；
（2）已知點C（0，7），試在該反比例函數圖象上確定一點M，使得MB=MC，求此時點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）先利用勾股定理求OA的長，則OB=OA=5，利用待定系數法求一次函數和反比例函數的解析式；
（2）因為MB=MC，所以M在BC的中垂線上，而BC的中垂線所在的直線為：y=1，將y=1代入反比例函數可求得M的坐標．

解答 解：（1）過A作AE⊥x軸于E，作AF⊥y軸于F，
∵A（4，3），
∴OE=4，AE=3，
∴OA=5，
∵OB=OA，
∴OB=5，
∴B（0，-5），
把A（4，3）、B（0，-5）代入一次函數y=kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=3}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
∴一次函數的解析式為：y=2x-5，
把A（4，3）代入反比例函數y=$\frac{a}{x}$得：
a=4×3=12，
∴反比例函數解析式為：y=$\frac{12}{x}$；
（2）∵B（0，-5）、C（0，7），
∴BC=12，
∴BC的中垂線為：直線y=1，
當y=1時，x=12，
∴M（12，1）．

點評 本題考查了利用待定系數法求一次函數和反比例函數的解析式、線段垂直平分線的性質，明確到一條線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，同時注意各象限內點的坐標特征，與勾股定理相結合，確定點的坐標．