Question

14．如圖，已知△ABC和△ABD均為等腰直角三角形．∠ACB=∠BAD=90°，點E為邊AC上任意一點（點E不與A、C兩點重合），作EF⊥EB交AD于點F，交AB于點O．
（1）求證：∠AFO=∠EBO．
（2）判斷△EBF的形狀，并證明你的判斷．（提示：可作EM⊥AE交AB于M）
（3）若E為AC延長線上任意一點（如圖②），EF交DA的延長線于點F，其他條件不變，（2）中的結論是否成立？請證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）根據三角形內角和定理以及對頂角相等即可得出結論；
（2）過E作EM⊥AE交AB于M，先判定△AFE≌△MBE（AAS），得出EF=EB，∠FEA=∠BEM，進而得到∠BEF=∠MEA=90°，即可得出△BEF為等腰直角三角形；
（3）過E作EM⊥AE交AB延長線于點M，先判定△EBM≌△EFA（AAS），得出EB=EF，∠FEA=∠BEM，即可得到∠BEF=∠MEA=90°，進而得出△BEF為等腰直角三角形．

解答 解：（1）證明：∵EF⊥EB，
∴∠FEB=90°=∠BAF，
∵∠AFE=90°-∠AOF，∠ABE=90°-∠BOE，
而∠EOB=∠AOF，
∴∠AFE=∠ABE； 

（2）△EBF為等腰直角三角形，
證明：如圖1，過E作EM⊥AE交AB于M，
在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=45°，
∴∠EAM=∠AME=45°，
∴EA=EM，
∵∠FAE=45°+90°=135°，∠EMB=180°-45°=135°，
∴∠FAE=∠EMB，
在△AEP和△MBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAE=∠EMB}\\{∠AFE=∠EBM}\\{AE=ME}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△MBE（AAS），
∴EF=EB，∠FEA=∠BEM，
∴∠BEF=∠MEA=90°，
∴△BEF為等腰直角三角形；

（3）△BEF為等腰直角三角形仍成立．
證明：如圖2，過E作EM⊥AE交AB延長線于點M，
易得∠EMB=∠EAB=45°=∠EAF，
∴EM=EA，
∵∠FEB+∠FAB=90°+90°=180°，
∴∠EFA+∠ABE=180°，
又∵∠EBM+∠EBA=180°，
∴∠EBM=∠EFA，
在△EBM和△EFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EMB=∠EAF}\\{∠EBM=∠EFA}\\{ME=AE}\end{array}\right.$，
∴△EBM≌△EFA（AAS），
∴EB=EF，∠FEA=∠BEM，
∴∠BEF=∠MEA=90°，
∴△BEF為等腰直角三角形．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質以及等腰直角三角形的性質的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，根據全等三角形的對應邊相等進行求解．