Question

5．如圖，O是坐標原點，過點A（-1，0）的拋物線y=x²-bx-3與x軸的另一個交點為B，與y軸交于點C，其頂點為D點
（1）求b的值；
（2）連接BD，CD，平面內有一點Q（m，n），當四邊形BQCD是平行四邊形時，求m，n的值．

Answer 1

分析 （1）把A點坐標代入拋物線解析式可求得b的值；
（2）①可先求得OB、OC和BE的長，再利用平行四邊形的性質證明△QFC≌△BED，可證明FQ=2，可求得m的值；

解答 解：（1）把A（-1，0）代入y=x²-bx-3，可得1+b-3=0，解得b=2；
（2）①設拋物線的對稱軸與x軸交于點E．
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴D（1，-4），則OE=1，DE=4，
令x=0得，y=-3；令y=0得，x²-2x-3=0．
解得x=-1或x=3．
∴OB=3，OC=3，BE=2，
如圖1，過C作BD的平行線與直線y=1相交，則交點必為Q，設直線y=1與y軸交于點F，則CF=4．

∵DE∥FC，
∴∠FCQ=∠EDB．
又∵CF=4=DE，∠QFC=90°=∠BED，
在△QFC和△△BED中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCQ=∠EDB}\\{CF=DE}\\{∠QFC=∠BED}\end{array}\right.$
∴△QFC≌△BED，
∴CQ=BD，FQ=EB=2，
∴m=FQ=2，n=1．

點評 本題主要考查二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、二次函數的性質、平行四邊形的性質、直線和圓的位置關系、三角函數的定義等知識點．在（2）①中構造三角形全等證得FQ=EB=2是解題的關鍵，