Question

15．如圖，D為腰長(zhǎng)為1的等腰直角形△ABC的腰AC延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，E為底邊BC延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，∠AED=135°，若CE=x，CD=y，則y關(guān)于x的圖象大致是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 如圖，作AM⊥AE交DE的延長(zhǎng)線于M，連接CM，AE與CM交于點(diǎn)O．首先證明△BAE≌△CAM，推出∠AEA=∠AMC，BE=CM=$\sqrt{2}$+x，再由△ACM∽△ECD，
得到$\frac{AC}{EC}$=$\frac{CM}{CD}$，即$\frac{1}{x}$=$\frac{\sqrt{2}+x}{y}$，即y=x²+$\sqrt{2}$x，由此即可判斷．

解答 解：如圖，作AM⊥AE交DE的延長(zhǎng)線于M，連接CM，AE與CM交于點(diǎn)O．

∵AB=AC=1，∠BAC=∠MAE=90°，
∴∠BAE=∠CAM，
∵∠AED=135°，
∴∠AEM=∠AME=45°，
∴AM=AE，
在△BAE和△CAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=AC}\\{∠BAE=∠CAM}\\{AE=AM}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CAM，
∴∠AEA=∠AMC，BE=CM=$\sqrt{2}$+x，
∵∠AOM=∠COE，
∴∠MAO=∠ECO=90°，
∴∠ACB=∠ACM=45°，
∴∠CAE+∠AEB=45°，
∵∠D+∠DAE=180°-135°=45°，
∴∠D=∠AEB=∠AMC，∵∠DCE=∠ACB=∠ACM，
∴△ACM∽△ECD，
∴$\frac{AC}{EC}$=$\frac{CM}{CD}$，
∴$\frac{1}{x}$=$\frac{\sqrt{2}+x}{y}$，
∴y=x²+$\sqrt{2}$x，
∴圖象是拋物線，開(kāi)口向上，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，其中全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．