Question

11．如圖，圓E是三角形ABC的外接圓，∠BAC=45°，AO⊥BC于O，且BO=2，CO=3，分別以BC、AO所在直線建立x軸．
（1）求三角形ABC的外接圓直徑；
（2）求過ABC三點的拋物線的解析式；
（3）設P是（2）中拋物線上的一個動點，且三角形AOP為直角三角形，則這樣的點P有幾個？（只需寫出個數，無需解答過程）

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接EB、EC．由BC=OB+OC=5，∠BEC=2∠BC=90°，可知EB=EC=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
（2）如圖2中，作EM⊥BC于M，EN⊥OA于N，連接AE，則四邊形EMON是矩形．利用勾股定理求出點A、B、C三點坐標，利用待定系數法即可解決問題．
（3）①以OA為直徑畫圓與拋物線有4個交點，根據直徑所對的圓周角是直角，可知這樣有4個點P滿足條件．②當PA⊥OA時，有一個點P滿足條件．③當PO⊥OA時，有兩個點P滿足條件．

解答 解：（1）如圖1中，連接EB、EC．

∵BC=OB+OC=5，∠BEC=2∠BC=90°，
∴EB=EC=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴⊙E的直徑為$5\sqrt{2}$．

（2）如圖2中，作EM⊥BC于M，EN⊥OA于N，連接AE，則四邊形EMON是矩形．

在Rt△EMC中，EM=ON=$\sqrt{E{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，OM=NE=OC-CM=$\frac{1}{2}$，
在Rt△EN中，AN=$\sqrt{A{E}^{2}-E{N}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5\sqrt{2}}{2}）^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{7}{2}$，
∴OA=AN+ON=6，
∴A（0，6），B（-2，0），C（3，0），
設拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-3），把（0，6）的坐標代入得a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-x²+x+6．

（3）如圖3中，

①以OA為直徑畫圓與拋物線有4個交點，根據直徑所對的圓周角是直角，可知這樣有4個點P滿足條件．
②當PA⊥OA時，有一個點P滿足條件．
③當PO⊥OA時，有兩個點P滿足條件．
所以滿足條件的點P有6個．

點評 本題考查二次函數綜合題、圓的有關知識、勾股定理、待定系數法等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，學會利用直徑所對的圓周角是直角尋找直角，所以中考壓軸題．