Question

10．如圖，現(xiàn)有邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為AD邊上的一點（不與點A、點D重合），將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連結BP、BH．
（1）求證：∠APB=∠BPH；
（2）當AP=1時，求DH的長；
（3）求證：AP+HC=PH．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)翻折變換的性質得出∠PBC=∠BPH，進而利用平行線的性質得出∠APB=∠PBC即可得出答案；
（2）首先設AE=x，則EP=4-x，由勾股定理可得：在Rt△AEP中，AE²+AP²=PE²，即可得方程：x²+1²=（4-x）²，即可求得答案AE的長，易證得△DPH∽△AEP，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案；
（3）首先過B作BQ⊥PH，垂足為Q，易證得△ABP≌△QBP，進而得出△BCH≌△BQH，即可得出AP+HC=PH．

解答 （1）證明：∵PE=BE，
∴∠EPB=∠EBP，
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．
即∠BPH=∠PBC．
又∵四邊形ABCD為正方形
∴AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH．

（2）解：∵AP=1，
∴PD=AD-AP=4-1=3，
設AE=x，則EP=4-x，
在Rt△AEP中，AE²+AP²=PE²，
即x²+1²=（4-x）²，
解得：x=$\frac{15}{8}$，
∵∠A=∠D=∠ABC=90°，
∴∠AEP+∠APE=90°，
由折疊的性質可得：∠EPG=∠ABC=90°，
∴∠APE+∠DPH=90°，
∴∠AEP=∠DPH，
∴△DPH∽△AEP，
∴$\frac{DH}{AP}$=$\frac{DP}{AE}$，
∴$\frac{DH}{1}$=$\frac{3}{\frac{15}{8}}$，
解得：DH=$\frac{8}{5}$；


（3）證明：過B作BQ⊥PH，垂足為Q，
由（1）知，∠APB=∠BPH，
在△ABP與△QBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BQP=90°}\\{∠APB=∠BPH}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△QBP（AAS），
∴AP=QP，BA=BQ．
又∵AB=BC，
∴BC=BQ．
又∵∠C=∠BQH=90°，
∴△BCH和△BQH是直角三角形，
在Rt△BCH與Rt△BQH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BQ}\\{BH=BH}\end{array}\right.$，
∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL），
∴CH=QH，
∴AP+HC=PH．

點評 此題屬于四邊形的綜合題．考查了正方形的性質、折疊的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質以及勾股定理等知識．注意掌握折疊前后圖形的對應關系、注意掌握方程思想的應用，注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．