Question

18．如圖，將邊長為$\sqrt{3}$cm的正方形ABCD繞點A逆時針方向旋轉30°后得到正方形AB′C′D′，則圖中陰影部分的面積為（　　）

• A． $\frac{3}{4}$cm²
• B． $\frac{3}{2}$cm²
• C． $\sqrt{3}$cm²
• D． （3-$\sqrt{3}$）cm²

Answer 1

分析 設BC、C′D′相交于點M，連結AM．根據HL即可證明△AD′M≌△ABM，可得到∠MAB=30°，然后可求得MB的長，從而可求得△ABM的面積，最后
利用正方形的面積減去△AD′M和△ABM的面積進行計算即可．

解答 解：設BC、C′D′相交于點M，連結AM．

由旋轉的性質可知：AD=AD′．
在直角△AD′M和直角ABM中$\left\{\begin{array}{l}{AD′=AB}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴△AD′M≌△ABM．
∴∠BAM=∠D′AM，S_△AMB=S_△AD′B．
∵∠DAD′=30°，
∴∠MAB=$\frac{1}{2}$×（90°-30°）=30°．
又∵BA=$\sqrt{3}$，
∴MB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB=1．
∴S_△AMB=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
又∵S_{正方形ABCD}=（$\sqrt{3}$）²=3，
∴S_陰影=3-2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3-$\sqrt{3}$．
故選：D．

點評 本題考查旋轉的性質以及全等三角形的判定與性質、特殊銳角三角函數值的應用，證得△AD′M≌△ABM是本題的關鍵．