Question

已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，直線x=l是拋物線的對(duì)稱軸．

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)點(diǎn)P是直線x=l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在直線x=l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

（1）y=-x2+2x+3．（2）P的坐標(biāo)（1，2）．（3）M（1，）（1，-）（1，1）（1，0）．

【解析】

試題分析：（1）直接將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中求出待定系數(shù)即可．

（2）由圖知：A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，那么根據(jù)拋物線的對(duì)稱性以及兩點(diǎn)之間線段最短可知：若連接BC，那么BC與直線l的交點(diǎn)即為符合條件的P點(diǎn)．

（3）由于△MAC的腰和底沒有明確，因此要分三種情況來討論：①M(fèi)A=AC、②MA=MC、③AC=MC；可先設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用M點(diǎn)縱坐標(biāo)表示△MAC的三邊長，再按上面的三種情況列式求解．

試題解析：（1）將A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入拋物線y=ax2+bx+c中，得：

，

解得：

∴拋物線的解析式：y=-x2+2x+3．

（2）連接BC，直線BC與直線l的交點(diǎn)為P；

∵點(diǎn)A、B關(guān)于直線l對(duì)稱，

∴PA=PB，

∴BC=PC+PB=PC+PA

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），將B（3，0），C（0，3）代入上式，得：

，

解得：

∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-x+3；

當(dāng)x=1時(shí)，y=2，即P的坐標(biāo)（1，2）．

（3）拋物線的對(duì)稱軸為：x==1，設(shè)M（1，m），已知A（-1，0）、C（0，3），則：

MA2=m2+4，MC2=（3-m）2+1=m2-6m+10，AC2=10；

①若MA=MC，則MA2=MC2，得：

m2+4=m2-6m+10，得：m=1；

②若MA=AC，則MA2=AC2，得：

m2+4=10，得：m=±；

③若MC=AC，則MC2=AC2，得：

m2-6m+10=10，得：m1=0，m2=6；

當(dāng)m=6時(shí)，M、A、C三點(diǎn)共線，構(gòu)不成三角形，不合題意，故舍去；

綜上可知，符合條件的M點(diǎn)，且坐標(biāo)為 M（1，）（1，-）（1，1）（1，0）．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．