Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作⊙O交AC于點D，E是BC的中點，連結DE．
（1）求證：直線DE是⊙O的切線；
（2）連結OC交DE于點F，若OF=CF，證明四邊形OECD是平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）要證明直線DE是⊙O的切線，只要證明∠ODE=90°即可．
（2）作OH⊥AC于點H，首先證明△DCF≌△EOF（AAS），進而得出DC=OE=AD，即可得出四邊形OECD是平行四邊形．

解答 （1）證明：連接OD、OE、BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠CDB=∠ADB=90°，
∵E點是BC的中點，
∴DE=CE=BE．
在△ODE和△OBE中，$\left\{\begin{array}{l}{DO=BO}\\{EO=EO}\\{EO=EO}\end{array}\right.$，
∴△ODE≌△OBE（SSS），
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∵OD是圓的半徑，
∴直線DE是⊙O的切線．

（2）證明：作OH⊥AC于點H，
∵OA=OB，
∴OE∥AC，且OE=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠CDF=∠OEF，∠DCF=∠EOF；
在△DCF和△EOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDF=∠OEF}\\{∠DCF=∠EOF}\\{CF=FO}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△EOF（AAS），
∴DC=OE=AD，
∴四邊形CEOD為平行四邊形．

點評 此題考查了全等三角形的判定方法及切線的判定和平行四邊形的判定與性質等知識，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．