Question

19．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D，AD交⊙O于點E
（1）求證：AC平分∠DAB
（2）連接CE，若CE=6，AC=8，直接寫出⊙O直徑的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據切線的性質和已知求出OC∥AD，求出∠OCA=∠CAO=∠DAC，即可得出答案；
（2）根據圓周角定理和圓心角、弧、弦之間的關系求出CE=BC=6，根據勾股定理求出AB即可．

解答 （1）證明：連接OC，
∵CD是⊙O的切線，
∴CD⊥OC，
又∵CD⊥AD，
∴AD∥OC，
∴∠CAD=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠CAD=∠CAO，
即AC平分∠DAB；

（2）解：∵∠CAD=∠CAO，
∴$\widehat{CE}$=$\widehat{CB}$，
∴CE=BC=6，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
即⊙O直徑的長是10．

點評 本題考查了切線的性質，平行線的性質和判定，勾股定理，圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關系的應用，能靈活運用知識點進行推理是解此題的關鍵．