Question

【題目】如圖1，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點P為AB上一點（異于A、B），BD⊥直線CP于D，AE⊥直線CP于E，點F為AB的中點，連接DF．

（1）可以把△ACE繞點F逆時針旋轉　 　度（度數不超過180°）和△　 　重合，則∠FDE＝　 　°．

（2）取CE的中點G，連接AD、FG，求證：AD＝2FG．

（3）如圖2，AB＝8，等腰直角△MNH的斜邊NH的中點也為點F，直線AM和直線CH交于點Q，連接BQ，當△MNH繞點F旋轉一周時，請直接寫出BQ長的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）90，CBD，45；（2）見解析；（3）2-2≤BQ≤2+2

【解析】

(1)由等腰直角三角形的性質可得CF=AF=BF，CF⊥BF，由“AAS”可證△ACE≌△CBD，則可以把△ACE繞點F逆時針旋轉90度和△CBD重合，可得CE=DB，EF=DF，可證△CFE≌△BFD，可得∠CFE=∠BFD，可證∠EFD=90°，可求解；

(2)取BD中點H，連接FH，由中點定義和三角形中位線定理可得CG=CE=BD=BH，AD∥FH，AD=2FH，由“SAS”可證△CFG≌△BFH，可得GF=FH，可得AD=2FG；

(3)如圖2，連接CF，MF，由全等三角形的性質可求∠AQC=90°，可得點Q在以AC為直徑的圓上運動，即可求解．

(1)如圖1，連接CF，EF，

∵AC=BC，∠ACB=90°，點F為AB的中點，

∴CF=AF=BF，CF⊥BF，

∵AE⊥CD，BD⊥CD，

∴∠AEC=∠CDB=∠ACB=90°，

∴∠ACE+∠CAE=90°，∠ACE+∠DCB=90°，

∴∠CAE=∠DCB，且AC=BC，∠AEC=∠CDB=90°，

∴△ACE≌△CBD(AAS)

∴可以把△ACE繞點F逆時針旋轉90度和△CBD重合，

∴CE=DB，EF=DF，且CF=BF，

∴△CFE≌△BFD(SSS)

∴∠CFE=∠BFD，且∠CFE+∠EFB=90°，

∴∠BFD+∠EFB=90°，

∴∠EFD=90°，且EF=DF，

∴∠FDE=45°，

故答案為：90，CBD，45；

(2)如圖1，取BD中點H，連接FH，

∵點G是CE中點，點H是BD中點，點F是AB中點，且CE=BD，

∴CG=CE=BD=BH，AD∥FH，AD=2FH，

∵△CFE≌△BFD，

∴∠FCG=∠FBH，且CG=BH，CF=BF，

∴△CFG≌△BFH(SAS)

∴GF=FH，

∴AD=2FG；

(3)如圖2，連接CF，MF，

∵AC=BC，∠ACB=90°，點F是AB中點，AB=8，

∴AF=CF=BF=4，CF⊥AB，AC=BC=4，

∵MN=MH，∠NMH=90°，點F是NH中點，

∴NF=FH=FM，MF⊥NH，

∴∠MFH=∠AFC=90°，

∴∠AFM=∠CFH，且AF=CF，FH=FM，

∴△AFM≌△CFH(SAS)

∴∠FAM=∠FCH，

∵∠FAM+∠CAM+∠ACF=90°，

∴∠CAM+∠ACF+∠FCH=90°，

∴∠AQC=90°，

∴點Q在以AC為直徑的圓上運動，

∴當點Q在BO的延長線上時，BQ最大；當點Q在線段BO上時，BQ最小．

取AC中點O，連接BO，

∴CO=2，

∴BO===2，

∴BQ長的取值范圍為