Question

9．規定x=x₀時，代數式$\frac{x^2}{{1+{x^2}}}$的值記為f（x₀）．例如：x=-1時，$f（-1）=\frac{{{{（-1）}^2}}}{{1+{{（-1）}^2}}}=\frac{1}{2}$，則$f（1）+f（2）+f（3）+…+f（168）+f（\frac{1}{2}）+f（\frac{1}{3}）+f（\frac{1}{4}）+…+f（\frac{1}{168}）$的值等于167$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據題意得到f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1，原式結合后，計算即可得到結果．

解答 解：根據題意得：f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{{x}^{2}}}{1+\frac{1}{{x}^{2}}}$=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$=$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}+1}$=1，
則原式=f（1）+[f（2）+f（$\frac{1}{2}$）]+[f（3）+f（$\frac{1}{3}$）]+[f（4）+f（$\frac{1}{4}$）]+…[f（168）+f（$\frac{1}{168}$）]=$\frac{1}{2}$+167=167$\frac{1}{2}$，
故答案為：167$\frac{1}{2}$

點評 此題考查了分式的值，根據題意得到f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1是解本題的關鍵．