Question

6．在坐標系xOy中，拋物線y=-x²+bx+c經過點A（-3，0）和B（1，0），與y軸交于點C，
（1）求拋物線的表達式；
（2）若點D為此拋物線上位于直線AC上方的一個動點，當△DAC的面積最大時，求點D的坐標；
（3）設拋物線頂點關于y軸的對稱點為M，記拋物線在第二象限之間的部分為圖象G．點N是拋物線對稱軸上一動點，如果直線MN與圖象G有公共點，請結合函數的圖象，直接寫出點N縱坐標t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1），然后將a=-1代入即可求得拋物線的解析式；
（2）過點D作DE∥y軸，交AC于點E．先求得點C的坐標，然后利用待定系數法求得直線AC的解析式，設點D的坐標為（x，-x²-2x+3），則E點的坐標為（x，x+3），于是得到DE的長（用含x的式子表示，接下來，可得到△ADC的面積與x的函數關系式，最后依據配方法可求得三角形的面積最大時，點D的坐標；
（3）如圖2所示：先求得拋物線的頂點坐標，于是可得到點M的坐標，可判斷出點M在直線AC上，從而可求得點N的坐標，當點N′與拋物線的頂點重合時，N′的坐標為（-1，4），于是可確定出t的取值范圍．

解答 解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1）．
由題意可知：a=-1．
∴拋物線的解析式為y=-1（x+3）（x-1）即y=-x²-2x+3．
（2）如圖所示：過點D作DE∥y軸，交AC于點E．

∵當x=0時，y=3，
∴C（0，3）．
設直線AC的解析式為y=kx+3．
∵將A（-3，0）代入得：-3k+3=0，解得：k=1，
∴直線AC的解析式為y=x+3．
設點D的坐標為（x，-x²-2x+3），則E點的坐標為（x，x+3）．
∴DE=-x²-2x+3-（x+3）=-x²-3x．
∴△ADC的面積=$\frac{1}{2}$DE•OA=$\frac{1}{2}$×3×（-x²-3x）=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$．
∴當x=-$\frac{3}{2}$時，△ADC的面積有最大值．
∴D（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
（3）如圖2所示：

∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴拋物線的頂點坐標為（-1，4）．
∵點M與拋物線的頂點關于y軸對稱，
∴M（1，4）．
∵將x=1代入直線AC的解析式得y=4，
∴點M在直線AC上．
∵將x=-1代入直線AC的解析式得：y=2，
∴N（-1，2）．
又∵當點N′與拋物線的頂點重合時，N′的坐標為（-1，4）．
∴當2＜t≤4時，直線MN與函數圖象G有公共點．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求一次函數、二次函數的解析式、配方法求二次函數的最值，用函數x的式子表示出△ACD的面積是解題的關鍵．