Question

4．如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，在CD的延長線上取一點E，以CE為直徑作圓交AD的延長線于點F，連接FB交圓于另一點G，且GB=DF．
（1）證明：GF=CE．
（2）試求五邊形ABCFE的面積．

Answer 1

分析 （1）只要證明△AGH∽△AFG即可解決問題．
（2）設BG=DF=DH=x，圓的半徑為R，則BF=x+2R，AF=2+x，DE=2R-2，由勾股定理和相交弦定理得到，推出2R+xR=4，再根據S_{五邊形ABCFE}=S_{正方形ABCD}+S_△ADE+S_△ECF=2+2R+xR即可解決問題．

解答 （1）證明：連接AG，GH，
∵正方形ABCD，
∴∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC，
∵CE為圓的直徑，
∴BC是圓的切線，
∴BC²=BG•BF，
∴AB²=BG•BF，
∴$\frac{AB}{BF}=\frac{BG}{AB}$，
∵∠ABG=∠FBA，
∴△ABG∽△FBA，
∴∠AGB=∠BAF=90°，
∴AG²=AB²-BG²=AD²-DF²=（AD+DF）（AD-DF）=AF（AD-AF），
∵CE為圓的直徑，∠ADC=90°，
∴DF=DH，
∴AG²=AF•AH，
∴$\frac{AG}{AF}=\frac{AH}{AG}$，
∵∠FAG=∠GAH，
∴△AGH∽△AFG，
∴∠AHG=∠AGF=90°，
∴FG是圓的直徑，
∴FG=CE；

（2）解：設BG=DF=DH=x，圓的半徑為R，則BF=x+2R，AF=2+x，DE=2R-2，由勾股定理和相交弦定理得到，
BO²=CB²+CO²，CD•DE=DF•DH，
∴（x+R）²=R²+2²，2（2R-2）=x²，
∴x²+2xR=4，4R-4=x²，
∴4R-4+2xR=4，
∴4R+2xR=8，
∴2R+xR=4，
∴S_{五邊形ABCFE}=S_{正方形ABCD}+S_△ADE+S_△ECF=2+2R+xR=2+4=6．

點評 本題考查圓綜合題、相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題，學會添加輔助線，構造相似三角形，學會利用參數解決問題，注意整體思想在本題中的體現，屬于中考壓軸題．