Question

11．如圖，在?ABCD中，點E為AD的中點，連接BE，交AC于點F．
（1）求$\frac{AF}{CF}$的值；
（2）若S_△AEF=9，求S_△BFC的值；
（3）過D作BE的平行線交AC于G，交BC于M，若AC=12，求FG的長．

Answer 1

分析 （1）根據平行四邊形的性質得出AD=BC，AD∥BC，求出BC=AD=2AE，根據相似三角形的判定得出△AFE∽△CFB即可；
（2）根據相似三角形的性質得出即可；
（3）根據平行線等分線段定理得出AF=FG=CG，即可求出答案．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵點E為AD的中點，
∴BC=AD=2AE，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CFB，
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{AE}{BC}$=$\frac{1}{2}$；

（2）∵△AFE∽△CFB，$\frac{AF}{CF}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{S}_{△AFE}}{{S}_{BFC}}$=（$\frac{AF}{CF}$）²=（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
∵S_△AEF=9，
∴S_△BFC=4×9=36；


（3）∵E為AD中點，DM∥BE，
∴AF=GF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵DM∥BE，
∴四邊形DEBM是平行四邊形，
∴BM=DE，
∵E為AD中點，AD=BC，
∴BC=AD=2DE=2AE，
∴MB=CM，
∵DM∥BE，
∴CG=FG，
∴AF=FG=CG，
∵AC=12，
∴FG=4．

點評 本題考查了平行四邊形的性質和判定，相似三角形的性質和判定等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵．