Question

8．如圖，已知BC為⊙O的弦，點A是⊙O內一點，連接AB，AC，AO，AB=AC
（1）如圖1，求證：AO平分∠BAC
（2）如圖2，延長BA交⊙O于點D，過點D、C作⊙O的切線交于點E，求證：∠ADE+∠ACE=180°．
（3）如圖3，在（2）的條件下，若CE∥BD，AD=1，BC=2$\sqrt{3}$，求線段OA的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接OA，OB，OC，作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，由△OBM≌△OCN，推出OM=ON，根據角平分線的判定定理即可證明．
（2）由ED、EC是⊙O切線，推出OD⊥DE，OC⊥EC，推出∠ODE=90°，∠OCE=90°，推出∠E+∠DOC=180°，由∠DOC=2∠B，AB=AC，∠B=∠ACB，推出∠DAC=∠B+∠ACB=2∠B，推出∠E+∠DAC=180°，即可證明∠ADE+∠ACE=180°．
（3）如圖3中，連接AO延長AO交BC于N，連接CO，延長CO交AB于M，連接CD、AE、OE．首先證明A、C、E、D四點共圓，推出四邊形ADEC是等腰梯形，四邊形ABCE是平行四邊形，CB=CD，由（1）可知OC平分∠BCA，CM⊥BD，AN⊥BC，AE∥BC，推出AE⊥OA，設MB=MD=x，則AM=x-1，AC=2x-1，根據CM²=BC²-BM²=AC²-AM²，列出方程求出x，再根據△AOE∽△MAC，得$\frac{AO}{AM}$=$\frac{AE}{CM}$，即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，連接OA，OB，OC，作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N．

∵AB=AC，OB=OC，
∴∠ABC=∠ACB，∠OBC=∠OCB，
∴∠OBM=∠OCN，
在△OBM和△OCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OMB=∠ONC}\\{∠OBM=∠OCN}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴△OBM≌△OCN，
∴OM=ON，∵OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，
∴OA平分∠BAC．

（2）證明：如圖2中，連接OD、OC．

∵ED、EC是⊙O切線，
∴OD⊥DE，OC⊥EC，
∴∠ODE=90°，∠OCE=90°，
∴∠E+∠DOC=180°，
∵∠DOC=2∠B，AB=AC，∠B=∠ACB，
∴∠DAC=∠B+∠ACB=2∠B，
∴∠E+∠DAC=180°，
∴∠ADE+∠ACE=180°．

（3）解：如圖3中，連接AO延長AO交BC于N，連接CO，延長CO交AB于M，連接CD、AE、OE．

∵∠ADE+∠ACE=180°，
∴A、C、E、D四點共圓，
∵AD∥EC，
∴AC=DE，
∴四邊形ADEC是等腰梯形，
∴DC=AE，
∵ED=EC=AC=AB，EC∥AB，
∴四邊形ABCE是平行四邊形，
∴BC=AE=CD=2$\sqrt{3}$，
∵CB=CD，
由（1）可知OC平分∠BCA，CM⊥BD，
∵AN⊥BC，AE∥BC，
∴AE⊥OA，設MB=MD=x，則AM=x-1，AC=2x-1，
∵CM²=BC²-BM²=AC²-AM²，
∴（2$\sqrt{3}$）²-x²=（2x-1）²-（x-1）²，
解得x=2或-$\frac{3}{2}$（舍棄），
∴AM=1，AC=3，CM=2$\sqrt{2}$，
∵∠EAO=∠AMC，∠ACM=∠AEO，
∴△AOE∽△MAC，
∴$\frac{AO}{AM}$=$\frac{AE}{CM}$，
∴$\frac{AO}{1}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$，
∴OA=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查圓綜合題、切線的性質、等腰梯形的判定和性質、平行四邊形的判定和性質、勾股定理、四點共圓等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會添加常用輔助線，用轉化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．