Question

4．如果一個三角形能被一條線段分割成兩個等腰三角形，那么稱這條線段為這個三角形的特異線，稱這個三角形為特異三角形．

（1）如圖1，△ABC中，∠B=2∠C，線段AC的垂直平分線交AC于點D，交BC于點E．求證：AE是△ABC的一條特異線；
（2）如圖2，若△ABC是特異三角形，∠A=30°，∠B為鈍角，求出所有可能的∠B的度數．

Answer 1

分析 （1）只要證明△ABE，△AEC是等腰三角形即可．
（2）如圖2中，當BD是特異線時，分三種情形討論，如圖3中，當AD是特異線時，AB=BD，AD=DC根據等腰三角形性質即可解決問題，當CD為特異線時，不合題意．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵DE是線段AC的垂直平分線，
∴EA=EC，即△EAC是等腰三角形，
∴∠EAC=∠C，
∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=∠B，即△EAB是等腰三角形，
∴AE是△ABC是一條特異線．
（2）解：如圖2中，

當BD是特異線時，如果AB=BD=DC，則∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°+15°=135°，
如果AD=AB，DB=DC，則∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°，
如果AD=DB，DC=CB，則ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°（不合題意舍棄）．
如圖3中，當AD是特異線時，AB=BD，AD=DC，則∠ABC=180°-20°-20°=140°

當CD為特異線時，不合題意．
∴符合條件的∠ABC的度數為135°或112.5°或140°．

點評 本題考查了等腰三角形的判定和性質、三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是理解題意，學會分類討論，學會畫出圖形，借助于圖形解決問題，學會利用方程去思考問題，屬于中考創新題目．