Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標為Q(-2，-1)，且與y軸交于點C(0，3)，與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），點P是該拋物線上一動點，從點C沿拋物線向點A運動（點P與A不重合），過點P作PD∥y軸，交直線AC于點D．

（1）求該拋物線的函數關系式．

（2）當△ADP是直角三角形時，求點P的坐標．

（3）在問題（2）的結論下，若點E在x軸上，點F在拋物線上，問是否存在以A，P，E，F為頂點的平行四邊形？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請簡單說明理由．

 

Answer 1

解：（1）∵拋物線的頂點為Q(-2，-1)，  

∴設拋物線的函數關系式為，

將C(0，3)代入上式，得，

∴，即．

（2）由得，，

∴，…

如圖:

  

①當點A為直角頂點時，過點A作直線AC的垂線交拋物線于點，

∵，C(0，3)，

∴直線AC的表達式為y=x+3．

∵⊥AC，點在直線上，

∴直線A的表達式為．  

由得，或（舍去），

∴（即為點Q）．

②當點為直角頂點時，⊥．

∵∥y軸，

∴⊥y軸，

∴點與點B重合，即．

③當點D為直角頂點時，不符合題意．

綜上得，點P坐標為或．

（3）存在，

點F的坐標為或．