Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點E是弧BC的中點，DE與BC交于點F，∠CEA=∠ODB.

（1）請判斷直線BD與⊙O的位置關系，并給出證明；

（2）當AB=12，BF=時，求圖中陰影部分的面積。（結果保留2個有效數字，≈1.73，≈3.14）.

Answer 1

（1）解法一、

直線BD與⊙O相切                    

證明如下：

∵∠AEC=∠ODB, ∠AEC=∠ABC

∴∠ABC=∠ODB                        

∵點E是弧BC的中點，∴OD⊥BC         

∴∠DBC+∠ODB=90°

∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠DBC+∠ODB=90°

∴直線BD與⊙O相切                    

解法二、

直線BD與⊙O相切                      

證明如下：

連接AC

∵AB是⊙O的直徑∴∠ACB=90°          

∵點E是弧BC的中點，∴OD⊥BC         

∴∠OFB=90°=∠ACB ∴AC∥OD

∴∠CAB=∠DOB∵∠CEA=∠ODB=∠ABC

∴∠CAB+∠CBA=∠DOB+∠ODB=90°

∴∠DBO=90°∴直線BD與⊙O相切        

(2)

∵點E是弧BC的中點，∴OD⊥BC 

∴∠OFB=90°                             

∵BO=AB=6

∴sin∠DOB=          

∴∠DOB=60°                             

∵∠OBD=90°∴tan60°=

∴BD=                               

∴S=