Question

4．如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為CD，AD上一點(diǎn)，CE=DF，BE，CF交于點(diǎn)G，O為BD的中點(diǎn)．
（1）求證：BE⊥CF；
（2）求證：BG-CG=$\sqrt{2}$OG．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，判定△BCE≌△CDF（SAS），可得∠CBE=∠DCF，再根據(jù)∠BCG+∠DCF=90°，得出∠BCG+∠CBE=90°，進(jìn)而得到∠BGC=90°，即BE⊥CF；
（2）連接OC，過O作OH⊥OG，交BE于H，根據(jù)∠BOC=∠BGC=90°，可得B、O、G、C四點(diǎn)共圓，進(jìn)而得到∠OGB=∠OCB=45°，即△OGH是等腰直角三角形，進(jìn)而得出HG=$\sqrt{2}$OG，再判定△BOH≌△COG（SAS），得出BH=CG，最后根據(jù)BG-BH=HG，即可得到BG-CG=$\sqrt{2}$OG．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=∠CDF=90°，
在△BCE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCD=∠CDF}\\{CE=DF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠CBE=∠DCF，
又∵∠BCG+∠DCF=90°，
∴∠BCG+∠CBE=90°，
∴∠BGC=90°，即BE⊥CF；

（2）如圖，連接OC，過O作OH⊥OG，交BE于H，
∵O為BD的中點(diǎn)，即O為正方形的對稱中心，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠BOC=∠BGC=90°，
∴B、O、G、C四點(diǎn)共圓，
∴∠OGB=∠OCB=45°，
∴△OGH是等腰直角三角形，
∴HG=$\sqrt{2}$OG，HO=GO，
∵∠BOC=∠GOH=90°，
∴∠BOH=∠COG，
在△BOH和△COG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BO=CO}\\{∠BOH=∠COG}\\{HO=GO}\end{array}\right.$，
∴△BOH≌△COG（SAS），
∴BH=CG，
又∵BG-BH=HG，
∴BG-CG=$\sqrt{2}$OG．

點(diǎn)評 本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造等腰直角三角形以及全等三角形，依據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等進(jìn)行求解．