Question

9．通過類比聯想，引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的，下面是一個案例，請補充完整．

原題：如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連結EF，試猜想EF、BE、DF之間的數量關系．
（1）思路梳理
把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，由∠ADG=∠B=90°，得∠FDG=180°，即點F、D、G共線，易證△AFG≌△AFE，故EF、BE、DF之間的數量關系
為EF=DF+BE．
（2）類比引申
如圖2，點E、F分別在正方形ABCD的邊CB、DC的延長線上，∠EAF=45°，連結EF，試猜想EF、BE、DF之間的數量關系為EF=DF-BE，并給出證明．
（3）聯想拓展
如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E均在邊BC上，且∠BAD+∠EAC=45°，若BD=3，EC=6，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）先根據旋轉得：∠ADG=∠A=90°，計算∠FDG=180°，即點F、D、G共線，再根據SAS證明△AFE≌△AFG，得EF=FG，可得結論EF=DF+DG=DF+AE；
（2）如圖2，同理作輔助線：把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，證明△EAF≌△GAF，得EF=FG，所以EF=DF-DG=DF-BE；
（3）如圖3，同理作輔助線：把△ABD繞點A逆時針旋轉90°至△ACG，證明△DAE≌△GAE，得DE=EG，先由勾股定理求EG的長，從而得結論．

解答 解：（1）思路梳理：
如圖1，把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，即AB=AD，
由旋轉得：∠ADG=∠A=90°，BE=DG，∠DAG=∠BAE，AE=AG，
∴∠FDG=∠ADF+∠ADG=90°+90°=180°，
即點F、D、G共線，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠FAD=90°-45°=45°，
∴∠FAD+∠DAG=∠FAG=45°，
∴∠EAF=∠FAG=45°，
在△AFE和△AFG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠FAG}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
∴EF=DF+DG=DF+AE；
故答案為：△AFE，EF=DF+AE；
（2）類比引申：
如圖2，EF=DF-BE，理由是：
把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，則G在DC上，
由旋轉得：BE=DG，∠DAG=∠BAE，AE=AG，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠BAG=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠FAG=90°-45°=45°，
∴∠EAF=∠FAG=45°，
在△EAF和△GAF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF=FG，
∴EF=DF-DG=DF-BE；
（3）聯想拓展：
如圖3，把△ABD繞點A逆時針旋轉90°至△ACG，可使AB與AC重合，連接EG，
由旋轉得：AD=AG，∠BAD=∠CAG，BD=CG，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ACG=∠B=45°，
∴∠BCG=∠ACB+∠ACG=45°+45°=90°，
∵EC=6，CG=BD=3，
由勾股定理得：EG=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{36+9}$=3$\sqrt{5}$，
∵∠BAD=∠CAG，∠BAC=90°，
∴∠DAG=90°，
∵∠BAD+∠EAC=45°，
∴∠CAG+∠EAC=45°=∠EAG，
∴∠DAE=45°，
∴∠DAE=∠EAG=45°，
∵AE=AE，
∴△AED≌△AEG，
∴DE=EG=3$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了正方形的性質、等腰直角三角形的性質、旋轉的性質，通過類比聯想，引申拓展，可達到解一題知一類的目的，本題通過旋轉一三角形的輔助線作法，構建另一三角形全等，得出結論，從而解決問題．