Question

20．（1）研究：如圖1，已知△BCD是等腰三角形，BA是CD邊上的高，垂足為A，CF是底邊DB的高交BA于點F．若BA=AC，求證：△AFC≌△ADB；
（2）拓展：在圖2、圖3中，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，點D在線段BC上（不含點B），∠BDF=$\frac{1}{2}$∠BCA，且DF交AB于點F，BE⊥DF，垂足為點E．
①如圖2，當點D與點C重合，試寫出BE與DF的數(shù)量關系；
②如圖3，當點D在線段BC上（不含點B、C）時，①中的結論成立嗎？如果成立，請證明它；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據(jù)同角的余角相等證明∠DBA=∠DCF，利用ASA證明△AFC≌△ADB；
（2）①如圖2，BE=$\frac{1}{2}$DF，作輔助線，構建全等三角形，證明△AGB≌△AFC，則BG=CF，再證明△CGE≌△CBE，可得結論；
 ②結論仍然成立，過點D做DP∥AC，交AB于點Q，交BE延長線于點P，證明△BQP≌△DQF，得BP=DF，再由等腰三角形三線合一的性質得：BE=$\frac{1}{2}$BP，即BE=$\frac{1}{2}$DF．

解答 證明：（1）如圖1，∵BA⊥DC，
∴∠FAC=∠BAD=90°，
∴在Rt△ABD中，
∠D+∠DBA=90°，
同理∠D+∠DCF=90°，
∴∠DBA=∠DCF，
∵AB=AC，
∴△AFC≌△ADB（ASA）；            
（2）①解：BE=$\frac{1}{2}$DF，理由是：
 如圖2，延長BE、DA交于G，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠BAG=90°，
∴∠G+∠GBA=90°，
∵CE⊥BG，
∴∠CEG=90°，
∴∠G+∠ACF=90°，
∴∠GBA=∠ACF，
∵AB=AC，
∴△AGB≌△AFD，
∴BG=DF，
∵∠BEC=∠GEC=90°，
∠BCF=∠ACF，CE=CE，
∴△CGE≌△CBE，
∴BE=EG，
∴BE=$\frac{1}{2}$BG，
∴BE=$\frac{1}{2}$DF；              
②成立，
證明：過點D做DP∥AC，交AB于點Q，交BE延長線于點P，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，∠BAC=90°，
∵DP∥AC，
∴∠ACB=∠PDB=45°，
∠BQD=90°，
∴△QBD為等腰直角三角形，
即QB=QD，
∵∠BDE=$\frac{1}{2}$∠BCA=22.5°，
∴∠FDQ=22.5°，
∵BE⊥DF，
∴∠EBD=90°-22.5°=67.5°，
∠EPD=90°-22.5°=67.5°，
∴∠EBF=∠EBD-45°=22.5°，
在△BQP與△DQF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BQP=∠DQF}\\{BQ=QD}\\{∠PBQ=∠FDQ}\end{array}\right.$，
∴△BQP≌△DQF（ASA），
∴BP=DF，
在△BDP中，
∵∠EPD=∠EBD，
∴△BDP是等腰三角形，
∵BE⊥DF，
∴BE=$\frac{1}{2}$BP，
即BE=$\frac{1}{2}$DF．

點評 本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形的性質和判定、等腰三角形的性質、等腰直角三角形的性質和判定，運用了類比的思想，作輔助線構建全等三角形是本題的關鍵，難度適中．