Question

19．如圖，在直角坐標系中，一條拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，其中B（3，0），C（0，4），點A在x軸的負半軸上，OC=4OA；
（1）求這條拋物線的解析式，并求出它的頂點坐標；
（2）聯結AC、BC，點P是x軸正半軸上一個動點，過點P作PM∥BC交射線AC于點M，聯結CP，若△CPM的面積為2，則請求出點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據OA與OC的關系，可得A點坐標，根據待定系數法，可得函數解析式；
（2）根據銳角三角函數，可得PH的長，根據相似三角形的性質，可得MC的長，根據三角形的面積，可得關于x的方程，根據解方程，可得答案．

解答 解：（1）∵C（0，4），O（0，0），
∴OC=4．
∵OC=4OA，
∴OA=1．
∵點A在x軸的負半軸上，
∴A（-1，0）．
設這條拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線過點 A（-1，0），B（3，0），C（0，4）
∴$\left\{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ 9a+3b+c=0\\ c=4\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{4}{3}\\ b=\frac{8}{3}\\ c=4\end{array}\right.$，
∴這條拋物線的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+4，
它的頂點坐標為（1，$\frac{16}{3}$）；
（2）過點P作PH⊥AC，垂足為H．


∵P點在x軸的正半軸上，
∴設P（x，0）．
∵A（-1，0），
∴PA=x+1．
∵在Rt△AOC中，OA²+OC²=AC²
又∵OA=1，OC=4，
∴AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∵∠AOC=90°，
∴sin∠CAO=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{4}{\sqrt{17}}$=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$
∵∠PHA=90°，
∴sin∠CAO=$\frac{PH}{AP}$=$\frac{PH}{x+1}$=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$
∴PH=$\frac{4\sqrt{17}（x+1）}{17}$．
∵PM∥BC，
∴$\frac{BP}{AB}$=$\frac{CM}{AC}$
∵B（3，0），P（x，0）
①點P在點B的左側時，BP=3-x
∴$\frac{3-x}{4}$=$\frac{CM}{\sqrt{17}}$，
∴CM=$\frac{\sqrt{17}（3-x）}{4}$．
∵S_△PCM=2，
∴$\frac{1}{2}$CM•PH=2，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{17}（3-x）}{4}$•$\frac{4\sqrt{17}（x+1）}{17}$=2．
解得x=1．
∴P（1，0）；
②點P在點B的右側時，BP=x-3
∴$\frac{x-3}{4}$=$\frac{CM}{\sqrt{17}}$，
∴CM=$\frac{\sqrt{17}（3-x）}{4}$，
∵S_△PCM=2，
∴$\frac{1}{2}$CM•PH=2，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{17}（3-x）}{4}$•$\frac{4\sqrt{17}（x+1）}{17}$=2．
解得x₁=1+2$\sqrt{2}$，x₂=1-2$\sqrt{2}$（不合題意，舍去）
∴P（$1+2\sqrt{2}$，0）．
綜上所述，P的坐標為（1，0）或（$1+2\sqrt{2}$，0）．

點評 本題考查了二次函數綜合題，利用待定系數法求函數解析式；利用銳角三角函數得出PH的長是解題關鍵，又利用相似三角形的性質得出CM的長，利用三角形的面積得出關于x的方程．