Question

14．兩個城鎮A、B與兩條公路ME，MF位置如圖所示，其中ME是東西方向的公路．現電信部門需在C處修建一座信號發射塔，要求發射塔到兩個城鎮A、B的距離必須相等，到兩條公路ME，MF的距離也必須相等，且在∠FME的內部
（1）那么點C應選在何處？請在圖中，用尺規作圖找出符合條件的點C．（不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡）
（2）設AB的垂直平分線交ME于點N，且MN=2（$\sqrt{3}$+1）km，測得∠CMN=30°，∠CNM=45°，求點C到公路ME的距離．

Answer 1

分析 （1）運用尺規作圖即可得出結果；
（2）作CD⊥MN于點D．由三角函數得出MD=$\sqrt{3}$CD，DN=$\frac{CD}{tan45°}$=CD，由已知條件得出$\sqrt{3}$CD+CD=2（$\sqrt{3}$+1），解得CD=2km即可．

解答 解：（1）答圖如圖1所示：
點C即為所求；
（2）作CD⊥MN于點D．如圖2所示：
∵在Rt△CMD中，∠CMN=30°，
∴$\frac{CD}{MD}$=tan∠CMN，
∴MD=$\frac{CD}{tan30°}$=$\frac{CD}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{3}$CD，
∵在Rt△CND中，∠CNM=45°，$\frac{CD}{DN}$=tan∠CNM，
∴DN=$\frac{CD}{tan45°}$=CD，∵MN=2（$\sqrt{3}$+1）km，
∴MN=MD+DN=$\sqrt{3}$CD+CD=2（$\sqrt{3}$+1）km．
解得：CD=2km．
答：點C到公路ME的距離為2km．

點評 本題考查了解直角三角形的應用、作圖-設計；熟練掌握基本作圖和解直角三角形是解決問題的關鍵．