Question

5．如圖，點D是△ABC的AB邊上一點，且AB=6，BD=4，AC=2$\sqrt{3}$．
（1）求證：△ACD∽△ABC．
（2）若BC=9，求CD的值．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{AD}{AC}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$、$\frac{AC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$知$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，結合∠A=∠A可得；
（2）由△ACD∽△ABC知$\frac{CD}{BC}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{CD}{9}$=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$，解之可得．

解答 解：（1）∵AB=6，BD=4，AC=2$\sqrt{3}$，
∴AD=AB-BD=6-4=2，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{AC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC；

（2）∵△ACD∽△ABC，
∴$\frac{CD}{BC}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{CD}{9}$=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$，
解得：CD=3$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．