Question

1．如圖，在平面直角坐標系中，已知Rt△AOB的兩直角邊OA，OB分別在x軸，y軸的正半軸上（OA＜OB），且OA，OB的長分別是一元二次方程x²-14x+48=0的兩個根，線段AB的垂直平分線CD交AB于點C，分別交x軸，y軸于點D，E．
（1）直接寫出點A、B的坐標：A（6，0），B（0，8）；
（2）求線段AD的長；
（3）已知P是直線CD上一個動點，點Q是直線AB上一個動點，則在坐標平面內是否存在點M，使得以點C、P、Q、M為頂點的四邊形是以5為邊長的正方形？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）解方程x²-14x+48=0，求出x的值，即可得到A、B兩點的坐標；
（2）只要證明△ACD∽△AOB，得到$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AC}{AO}$，由此即可求出AD．
（3）以點C、P、Q、M為頂點的正方形的邊長為5，且點Q與點B或點A重合．分兩種情況：①當點Q與點B重合時，易求BM的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+8，設M（x，$\frac{3}{4}$x+8），再根據BM=5列出方程（$\frac{3}{4}$x+8-8）²+x²=5²，解方程即可求出M的坐標．②當點Q與點A重合時，易求AM的解析式為y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{2}$，設M（x，$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{2}$），再根據BM=5列出方程（$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{2}$）²+（x-6）²=5²，解方程即可求出M的坐標．

解答 解：（1）解方程x²-14x+48=0，
得x₁=6，x₂=8，
∵OA＜OB，
∴A（6，0），B（0，8）；
故答案為（6，0），（0，8）．

（2）在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=10，
∵線段AB的垂直平分線CD交AB于點C，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=5．
在△ACD與△AOB中，
∵∠CAD=∠OAB，∠ACD=∠AOB=90°，
∴△ACD∽△AOB，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AC}{AO}$，即$\frac{AD}{10}$=$\frac{5}{6}$，
解得AD=$\frac{25}{3}$，
∵A（6，0），點D在x軸上，
∴D（-$\frac{7}{3}$，0）．
設直線CD的解析式為y=kx+b，
由題意知C為AB中點，
∴C（3，4），
∵D（-$\frac{7}{3}$，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=4}\\{-\frac{7}{3}k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，
∴直線CD的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{4}$；

（3）在坐標平面內存在點M，使以點C、P、Q、M為頂點的四邊形是正方形，且該正方形的邊長為5，
∵AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴以點C、P、Q、M為頂點的正方形的邊長為5，且點Q與點B或點A重合．分兩種情況：
①當點Q與點B重合時，易求BM的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+8，設M（x，$\frac{3}{4}$x+8），
∵B（0，8），BM=5，
∴（$\frac{3}{4}$x+8-8）²+x²=5²，
化簡整理，得x²=16，
解得x=±4，
∴M₂（4，11），M₃（-4，5）；
②當點Q與點A重合時，易求AM的解析式為y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{2}$，
設M（x，$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{2}$），
∵A（6，0），AM=5，
∴（$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{2}$）²+（x-6）²=5²，
化簡整理，得x²-12x+20=0，
解得x₁=2，x₂=10，
∴M₄（2，-3），M₁（10，3）；
綜上所述，所求點M的坐標為M₁（10，3），M₂（4，11），M₃（-4，5），M₄（2，-3）．

點評 本題是一次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數法求一次函數的解析式，一元二次方程的解法，相似三角形的判定與性質，正方形的性質，綜合性較強，難度適中．運用數形結合、分類討論及方程思想是解題的關鍵．