Question

（2013•無錫）如圖1，菱形ABCD中，∠A=60°，點P從A出發，以2cm/s的速度沿邊AB、BC、CD勻速運動到D終止，點Q從A與P同時出發，沿邊AD勻速運動到D終止，設點P運動的時間為t（s）．△APQ的面積S（cm²）與t（s）之間函數關系的圖象由圖2中的曲線段OE與線段EF、FG給出．
（1）求點Q運動的速度；
（2）求圖2中線段FG的函數關系式；
（3）問：是否存在這樣的t，使PQ將菱形ABCD的面積恰好分成1：5的兩部分？若存在，求出這樣的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據函數圖象中E點所代表的實際意義求解．E點表示點P運動到與點B重合時的情形，運動時間為3s，可得AB=6cm；再由S_△APQ=

9 3

2

，可求得AQ的長度，進而得到點Q的運動速度；
（2）函數圖象中線段FG，表示點Q運動至終點D之后停止運動，而點P在線段CD上繼續運動的情形．如答圖2所示，求出S的表達式，并確定t的取值范圍；
（3）當點P在AB上運動時，PQ將菱形ABCD分成△APQ和五邊形PBCDQ兩部分，如答圖3所示，求出t的值；
當點P在BC上運動時，PQ將菱形分為梯形ABPQ和梯形PCDQ兩部分，如答圖4所示，求出t的值．

解答：解：（1）由題意，可知題圖2中點E表示點P運動至點B時的情形，所用時間為3s，則菱形的邊長AB=2×3=6cm．
此時如答圖1所示：

AQ邊上的高h=AB•sin60°=6×

3

2

=3

3

cm，
S=S_△APQ=

1

2

AQ•h=

1

2

AQ×3

3

=

9 3

2

，解得AQ=3cm，
∴點Q的運動速度為：3÷3=1cm/s．

（2）由題意，可知題圖2中FG段表示點P在線段CD上運動時的情形．如答圖2所示：

點Q運動至點D所需時間為：6÷1=6s，點P運動至點C所需時間為12÷2=6s，至終點D所需時間為18÷2=9s．
因此在FG段內，點Q運動至點D停止運動，點P在線段CD上繼續運動，且時間t的取值范圍為：6≤t≤9．
過點P作PE⊥AD交AD的延長線于點E，則PE=PD•sin60°=（18-2t）×

3

2

=-

3

t+9

3

．
S=S_△APQ=

1

2

AD•PE=

1

2

×6×（-

3

t+9

3

）=-3

3

t+27

3

，
∴FG段的函數表達式為：S=-3

3

t+27

3

（6≤t≤9）．

（3）菱形ABCD的面積為：6×6×sin60°=18

3

．
當點P在AB上運動時，PQ將菱形ABCD分成△APQ和五邊形PBCDQ兩部分，如答圖3所示．
此時△APQ的面積S=

1

2

AQ•AP•sin60°=

1

2

t•2t×

3

2

=

3

2

t²，
根據題意，得

3

2

t²=

1

6

×18

3

，
解得t=

6

s；

當點P在BC上運動時，PQ將菱形分為梯形ABPQ和梯形PCDQ兩部分，如答圖4所示．
此時，有S_梯形ABPQ=

5

6

S_菱形ABCD，即

1

2

（2t-6+t）×6×

3

2

=

5

6

×18

3

，
解得t=

16

3

s．
∴存在t=

6

和t=

16

3

，使PQ將菱形ABCD的面積恰好分成1：5的兩部分．

點評：本題是運動型綜合題，考查了動點問題的函數圖象、菱形的性質、解直角三角形、圖形面積等知識點．解題關鍵是深刻理解動點的函數圖象，了解圖象中關鍵點所代表的實際意義，理解動點的完整運動過程．