Question

閱讀材料：（8分）

例：說明代數式 的幾何意義，并求它的最小值．

【解析】
，如圖，建立平面直角坐標系，點P（x，0）是x軸上一點，則可以看成點P與點A（0，1）的距離，可以看成點P與點B（3，2）的距離，所以原代數式的值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是PA＋PB的最小值．

設點A關于x軸的對稱點為A′，則PA＝PA′，因此，求PA＋PB的最小值，只需求PA′＋PB的最小值，而點A′、B間的直線段距離最短，所以PA′＋PB的最小值為線段A′B的長度．為此，構造直角三角形A′CB，因為A′C＝3，CB＝3，所以A′B＝3， 即原式的最小值為3．

根據以上閱讀材料，解答下列問題：

（1）代數式的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（1，1）、點B 的距離之和．（填寫點B的坐標）

（2）代數式 的最小值.

 

Answer 1

（1）（2，3）或（2，－3）；（2）10．

【解析】

試題分析：（1）先把原式化為的形式，再根據題中所給的例子即可得出結論；

（2）先把原式化為的形式，故得出所求代數式的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（0，7）、點B（6，1）的距離之和，再根據在坐標系內描出各點，利用勾股定理得出結論即可．

試題解析：（1）∵原式化為的形式，

∴代數式的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（1，1）、點B（2，3）的距離之和，故答案為（2，3）或（2，－3）；

（2）∵原式化為的形式，

∴所求代數式的值可以看成平面直角坐標系中點P（x，0）與點A（0，7）、點B（6，1）的距離之和，

如圖所示：設點A關于x軸的對稱點為A′，則PA=PA′，

∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而點A′、B間的直線段距離最短，

∴PA′+PB的最小值為線段A′B的長度，

∵A（0，7），B（6，1）∴A′（0，﹣7），A′C=6，BC=8，

∴A′B=．故答案為：10．

考點：1．軸對稱-最短路線問題；2．坐標與圖形性質．